已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(x+3/2）=-f（x）,且函数y=f（x-3/4）为奇函数

题目

已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(x+3/2）=-f（x）,且函数y=f（x-3/4）为奇函数
证明f（x）为R上的偶函数
y=f（x-3/4）为奇函数，所以f（x-3/4）=-f（-x-3/4），将x换成x-3/4，即f（x-3/4-3/4）=-f（-（x-3/4）-3/4），f（x-3/2)=-f（-x）①
又已知f(x+3/2）=-f（x），将x换成x+3/2，即f（x+3/2+3/2）=-f（x+3/2）=-（-f（x）），f（x+3）=f（x）②
由①②可知，f（（x-3/2）+3）=f（x-3/2）=-f（-x），-f（-x）=f（x+3/2），又已知f(x+3/2）=-f（x），所以-f（-x）=-f（x），f（-x）=f（x），f（x）为偶函数

答案

分析,
f(x+3/2)=-f(x)
利用x-3/4代换x
∴f(x+3/4)=-f(x-3/4)
又,f(x-3/4)是奇函数,
∴-f(x-3/4)=f(-x-3/4),故有函数的图像关于点(-3/4,0)对称
因此,f(x+3/4)=f(-x-3/4)
利用x-3/4代换x
∴f(x)=f(-x)
因此,f(x)就是偶函数.
又有f(x+3/2)=-f(x),则有f(x+3/2+3/2)=-f(x+3/2)=f(x)
即有f(x)=f(x+3),故函数是周期函数,周期T=3
因为函数f(x)在R上是奇函数,则有在R上也是单调函数.
故1,2,3,4都是正确的.
打字不易,