如图,已知二次函数y=ax2+2x+c（a＞0）图象的顶点M在反比例函数y=3x 上,且与x轴交于AB两点．

题目

如图,已知二次函数y=ax2+2x+c（a＞0）图象的顶点M在反比例函数y=3x 上,且与x轴交于AB两点．
如图,已知二次函数y=ax2+2x+c（a＞0）图象的顶点M在反比例函数y=3x
上,且与x轴交于AB两点．
（1）若二次函数的对称轴为x=-1/2 ,试求a,c的值；
（2）在（1）的条件下求AB的长；
（3）若二次函数的对称轴与x轴的交点为N,当NO+MN取最小值时,试求二次函数的解析式．

答案

（1）根据对称轴x=﹣b/(2a) =﹣1/2 ,求得二次函数y=ax2+2x+c（a＞0）中的a,
再根据顶点在反比例函数y=3/x上,求出c 即可；
（2）求得抛物线与x 轴的交点坐标,再用点B 的横坐标减去点A 的横坐标即可．
（3）可用含有a 的式子表示点M、N 的坐标,即求出a 的值,再求得解析式．
（1）∵二次函数的对称轴为x=﹣1/2,
∴-2/(2a)=-1/2 ,
解得a=2,
∵二次函数y=ax2+2x+c（a＞0）图象的顶点M 在反比例函数y=3/x上,
∴顶点为（﹣1/2 ,c﹣1/2 ）,
∴ 1/2（c﹣1/2 ）=﹣3,
解得c=﹣11/2 ,
∴二次函数的解析式为y=2x2+2x﹣11/2 ；
（2）∵二次函数的解析式为y=2x2+2x﹣11/2 ；
∴令y=0,2x2+2x﹣11/2 =0；
解得x= (-1±2√2)/2．
∴AB=(-1+2√2)/2-(-1-2√2)/2 =2√3 ；
（3）根据对称轴x=﹣1/a ,当x=﹣1/a 时,y=﹣3a,
∴NO+MN= +3a≥2√(3a*1/a) =2√3 ,当3a=1/a 时NO+MN 最小,
即3a*2=1 时,a=√3/3 ,
∴此时二次函数的解析式为y= x2+2x+3 ．
∴此时二次函数的解析式为y=√3/3 x^2+2x+3√3．