如图,已知二次函数y=ax2+2x+c(a>0)图象的顶点M在反比例函数y=3x 上,且与x轴交于AB两点.
题目
如图,已知二次函数y=ax2+2x+c(a>0)图象的顶点M在反比例函数y=3x 上,且与x轴交于AB两点.
如图,已知二次函数y=ax2+2x+c(a>0)图象的顶点M在反比例函数y=3x
上,且与x轴交于AB两点.
(1)若二次函数的对称轴为x=-1/2 ,试求a,c的值;
(2)在(1)的条件下求AB的长;
(3)若二次函数的对称轴与x轴的交点为N,当NO+MN取最小值时,试求二次函数的解析式.
答案
(1)根据对称轴x=﹣b/(2a) =﹣1/2 ,求得二次函数y=ax2+2x+c(a>0)中的a,
再根据顶点在反比例函数y=3/x上,求出c 即可;
(2)求得抛物线与x 轴的交点坐标,再用点B 的横坐标减去点A 的横坐标即可.
(3)可用含有a 的式子表示点M、N 的坐标,即求出a 的值,再求得解析式.
(1)∵二次函数的对称轴为x=﹣1/2,
∴-2/(2a)=-1/2 ,
解得a=2,
∵二次函数y=ax2+2x+c(a>0)图象的顶点M 在反比例函数y=3/x上,
∴顶点为(﹣1/2 ,c﹣1/2 ),
∴ 1/2(c﹣1/2 )=﹣3,
解得c=﹣11/2 ,
∴二次函数的解析式为y=2x2+2x﹣11/2 ;
(2)∵二次函数的解析式为y=2x2+2x﹣11/2 ;
∴令y=0,2x2+2x﹣11/2 =0;
解得x= (-1±2√2)/2.
∴AB=(-1+2√2)/2-(-1-2√2)/2 =2√3 ;
(3)根据对称轴x=﹣1/a ,当x=﹣1/a 时,y=﹣3a,
∴NO+MN= +3a≥2√(3a*1/a) =2√3 ,当3a=1/a 时NO+MN 最小,
即3a*2=1 时,a=√3/3 ,
∴此时二次函数的解析式为y= x2+2x+3 .
∴此时二次函数的解析式为y=√3/3 x^2+2x+3√3.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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