P(a,b)关于直线y=x(一三象限角平分线)对称点为Q,P关于原点对称点为R.求证:△PQR为直角三角形.
题目
P(a,b)关于直线y=x(一三象限角平分线)对称点为Q,P关于原点对称点为R.求证:△PQR为直角三角形.
答案
P(a,b)关于直线y=x(一三象限角平分线)对称点为Q(b,a)
P(a,b)关于原点对称点为R(-a,-b)
|PQ|=√[(a-b)²+(b-a)²]=√[2(a-b)²]=√2|a-b|
|PR|=√[4a²+4b²]=2√(a²+b²)
|QR|=√[(a+b)²+(a+b)²]=√2|a+b|
|PR|²=4(a²+b²)
|PQ|²+|QR|²=2|a-b|²+2|a+b|²=4(a²+b²)
|PR|²=|PQ|²+|QR|²
所以△PQR为直角三角形,且∠PQR=90
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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