对下列实对称矩阵A,求一个正交矩阵P,使P^-1AP=P^TAP=D为对角矩阵 2 0 0 0 -1 3 0 3 -1

题目

对下列实对称矩阵A,求一个正交矩阵P,使P^-1AP=P^TAP=D为对角矩阵 2 0 0 0 -1 3 0 3 -1
对下列实对称矩阵A，求一个正交矩阵P，使P^-1AP=P^TAP=D为对角矩阵
2 0 0
0 -1 3
0 3 -1

答案

|A-λE|=
2-λ 0 0
0 -1-λ 3
0 3 -1-λ
= (2-λ)[(-1-λ)^2-3^2]
= -(2-λ)^2(4+λ).
所以A的特征值为:2,2,-4.
(A-2E)X=0 的基础解系为:a1=(1,0,0)',a2=(0,1,1)'
(A+4E)X=0 的基础解系为:a3=(0,1,-1)'
a1,a2,a3 两两正交,下面单位化得
b1=(1,0,0)'
b2=(0,1/√2,1/√2)'
b3=(0,1/√2,1/√2)'
令P=(b1,b2,b3),则P可逆,P^-1=P^T,且 P^=1AP=diag(2,2,-4).