数列{an},｛bn｝中,对任何正整数n都有a1b1+a2b2+a3b3+.+an-1bn-1+anbn=2的n次方（n-1）+1

题目

数列{an},｛bn｝中,对任何正整数n都有a1b1+a2b2+a3b3+.+an-1bn-1+anbn=2的n次方（n-1）+1
｛bn｝数列是首项为1，公比为2的等比数列，数列｛an｝的通项公式;数列｛an｝是等差数列，数列｛bn｝是否为等比数列？若是，通项公式；否则，说明理由；求证i=1,1/aibi

答案

a1b1+a2b2+a3b3+.+an-1bn-1+anbn=(n-1)*2^n+1
a1b1+a2b2+a3b3+.+an-1bn-1=(n-2)*2^(n-1)+1
两式相减 anbn=(2n-2-n+2)*2^(n-1)=n*2^(n-1)
(1) ｛bn｝数列是首项为1,公比为2的等比数列
则bn=2^(n-1)
所以an=[n*2^(n-1)]/bn=n
(2) ｛an｝是等差数列
anbn=n*2^(n-1) an=[n*2^(n-1)]/bn
a(n-1)b(n-1)=(n-1)*2^(n-2) a(n-1)=[(n-1)*2^(n-2)]/b(n-1)
a(n-2)b(n-2)=(n-2)*2^(n-3) a(n-2)=[(n-2)*2^(n-3)]/b(n-2)
｛an｝是等差数列
2a(n-1)=a(n-2)+an
即)2[(n-1)*2^(n-2)]/b(n-1)=[n*2^(n-1)]/bn+[(n-2)*2^(n-3)]/b(n-2)
4(n-1)/b(n-1)=4n/bn+(n-2)/b(n-2)
若{bn}是等比数列,则b(n-1)^2=b(n-2)*bn
两式显然不合
(3) aibi=i*2^(i-1)
1/aibi=1/[i*2^(i-1)]