证明：若已知向量组a1a2a2...an的秩为r(r

题目

证明：若已知向量组a1a2a2...an的秩为r(r

答案

设 b1,b2,...,br 是 a1a2a3..an中任意r个线性无关的向量.
则对a1a2a3..an中任一向量b,
若b 在b1,b2,...,br 中, b 自然可由 b1,b2,...,br 线性表示.
若b 不在 b1,b2,...,br 中, 则由向量组a1a2a2...an的秩为r, 知这r+1个向量b , b1,b2,...,br 线性相关, 再由b1,b2,...,br 线性无关知 b可由 b1,b2,...,br 线性表示
这样, b1,b2,...,br 就满足了极大无关组的2个条件 (1) 自身线性无关 (2) 向量组中任一向量可则它线性表示.
所以 a1a2a3..an中任意r个线性无关的向量都是极大无关组.
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