三棱锥p-ABC中,PC垂直于底面ABC,AB=BC,D,F分别为AC,PC中点,

题目

三棱锥p-ABC中,PC垂直于底面ABC,AB=BC,D,F分别为AC,PC中点,
DE垂直于AP于E,求证:平面BDE垂直于平面BDF

答案

∵D、F分别是AC、PC的中点,∴DF是△PAC的中位线,∴DF∥PA,而DE⊥PA,∴DF⊥DE.
∵AB＝BC、D∈AC且AD＝CD,∴BD⊥AC.
∵PC⊥平面ABC,而BD在平面ABC上,∴BD⊥PC.
由BD⊥AC、BD⊥PC、AC∩PC＝C,得：BD⊥平面PAC,而DF在平面PAC上,∴DF⊥BD.
由DF⊥DE、DF⊥BD、BE∩BD＝D,得：DF⊥平面BDE,∴平面BDE⊥平面BDF.