设 z=xy+yt 而 y=2^x,t=sinx 求全导数dz/dt

题目

设 z=xy+yt 而 y=2^x,t=sinx 求全导数dz/dt
2x(2xln2+sinxln2+cosx+1)

答案

设 z=xy+yt 而 y=2^x,t=sinx 求全导数dz/dt
z=xy+yt,y=2^x,x=arcsint；
dz/dt=(∂z/∂x)(dx/dt)+(∂z/∂y)(dy/dx)(dx/dt)+(∂z/∂t)=y/√(1-t²)+[(x+t)(2^x)ln2]/√(1-t²)+y
用y=2^x,t=sinx代入得：
dz/dt=(2^x)/√(1-sin²x)+[(x+sinx)(2^x)ln2]/√(1-sin²x)+2^x
=(2^x)(xln2+sinxln2+cosx+1)/cosx
解二：也可以这样求
z=y(x+t)=(2^x)(x+t),其中x=arcsint.
故dz/dt=(∂z/∂x)(dx/dt)+∂z/∂t=[(2^x)ln2(x+t)+2^x]/√(1-t²)+2^x=(2^x){[ln2(x+sinx)+1]/cosx+1}
=(2^x)(xln2+sinxln2+cosx+1)/cosx .
解三：z=y(x+t)=(2^arxsint)(arcsint+t)
dz/dt=[(2^arcsint)ln2/√(1-t²)](arcsint+t)+(2^arcsint)[1/√(1-t²)+1]
=(2^x)ln2(x+sinx)/√(1-sin²x)+(2^x)[1/√(1-sin²x)+1]
=(2^x)ln2(x+sinx)/cosx+(2^x)(1+cosx)/cosx
=(2^x)[xln2+sinxln2+1+cosx)/cosx
=(2^x)(xln2+sinxln2+cosx+1)/cosx
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