向量 a=(3、-1)、b=(5、7),c=b-ka 且a平行于(a+b) 求k

题目

向量 a=(3、-1)、b=(5、7),c=b-ka 且a平行于(a+b) 求k

答案

有向量a+b+c=0可知向量a、b、c构成三角形,假设向量a与b夹角为θ由余弦定理可知
cos（180°-θ）=（3^2+5^2-7^）/（2*3*5）
=-1/2
θ=60°
假设存在实数k,使ka+b与a-2b垂直,则有
（ka+b).(a-2b)=0
ka^2-2kab+ba-2b^2=9k-2k*3*5*cos60°+5*3*cos（-60°）-2*5^2=-6k-85/2=0
k=-85/12