是否存在α∈（-π/2,π/2）,β∈（0,π）使等式sinα=根号2sinβ,根号3cosα=根号2cosβ同时成立?若存在,求出α、β的值；若不存在,请说明理由.

题目

是否存在α∈（-π/2,π/2）,β∈（0,π）使等式sinα=根号2sinβ,根号3cosα=根号2cosβ同时成立?若存在,求出α、β的值；若不存在,请说明理由.

答案

假设存在,分别将两等式都平方得到：(sinα)^2=2(sinβ)^23(cosα)^2=2(cosβ)^2两等式左右对应相加,并利用(sinα)^2 +(cosα)^2=(sinβ)^2+(cosβ)^2=1,得到1+2（cosα)^2=2则 （cosα)^2=1/2 而 α∈（-π/2,π/2）...