已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=−2/3,满足Sn+1/Sn+2=an(n≥2),计算S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式.

已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=−2/3,满足Sn+1/Sn+2=an(n≥2),计算S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式.

题目
已知数列{an}的前n项和为Sna
答案
由题设得Sn2+2Sn+1-anSn=0,当n≥2(n∈N*)时,an=Sn-Sn-1
代入上式,得Sn-1Sn+2Sn+1=0.(*)
S1=a1=-
2
3

∵Sn+
1
Sn
=an-2(n≥2,n∈N),令n=2可得
,S2+
1
S2
=a2-2=S2-a1-2,
1
S2
=
2
3
-2,
∴S2=-
3
4

同理可求得 S3=-
4
5
,S4=-
5
6

猜想Sn =-
n+1
n+2
,n∈N+,下边用数学归纳法证明:
①当n=1时,S1=a1=-
2
3
,猜想成立.
②假设当n=k时猜想成立,即SK=-
K+1
K+2
,则当n=k+1时,∵Sn+
1
Sn
=an-2,∴SK+1+
1
SK+1
ak+1−2

SK+1+
1
SK+1
SK+1SK−2
,∴
1
SK+1
=
K+1
K+2
-2=
−K−3
K+2

∴SK+1=-
K+2
K+3
,∴当n=k+1时,猜想仍然成立.
综合①②可得,猜想对任意正整数都成立,即 Sn =-
n+1
n+2
,n∈N+成立.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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