已知函数f(x)=ax^2+bx+1最小值为-a,f(x)=0两个实根为x1x2,求x1-x2

题目

已知函数f(x)=ax^2+bx+1最小值为-a,f(x)=0两个实根为x1x2,求x1-x2

答案

由f(x)=ax^2+bx+1最小值为-a得a>0,
且f[-b/(2a)]=b^2/(4a)-4a=-a,解得b=2a根号3
根的判别式=b^2-4a=(2a根号3)^2-4a>=0,且a>0,解得a>=4/3
则由韦达定理:
x1+x2=-b/a
x1*x2=1/a
则(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1*x2=(-b/a)^2-4/a=(2a根号3/a)^2-4/a=12-4/a>=12-4/(4/3)=9
则x1-x2=+根号(12-4/a)或者-根号(12-4/a)