若当标准型与矩阵的特征值和特征向量有什么关系?

题目

若当标准型与矩阵的特征值和特征向量有什么关系?

答案

你是数学系的吧?我按照一个数学系的标准给你讲下若当标准型是怎么来的,有什么用.最后再讲你的问题.算是给你补补课...
若当标准型是和矩阵的相似密不可分的.
我们知道一种非常特殊的矩阵是可以进行矩阵的相似对角化的.例如实对称矩阵.当把矩阵相似对角化之后,第一对于解矩阵的行列式的值,迹的值,特征值,等等具有"相似不变性性质"的东西都是很有帮助的.第二,例如我们要研究线性变换A的性质,我们知道它在不同的基底下的矩阵表示是不一样的,而这种不同基底下的矩阵之间是相似关系,因此相似的另一个用途是:已知线性变换在某基底下的矩阵表示为A,A很"复杂",我们可以求他的简单的相似矩阵B(比如发现A有相似对角形,相似上三角形或若当型),那么就可以舍弃A而研究B,因为B也是那个线性变换在某个基下的表示.以上是从矩阵(代数)和空间(几何)两个方面分析得到的相似这个概念的重要性.第三点,若当标准型常用来判断两个矩阵是否相似.如果两个矩阵有相同的相似标准型(有理标准型,初等因子友阵型或若当标准型),那么两个矩阵必相似.
我们看到了相似的重要概念,然后学过了任何实矩阵A都可正交相似上三角化,实对称矩阵可以正交相似对角化(谱分解定理).我们知道对角化对角线上只有n个元素,上三角矩阵的元素个数太多.对一般矩阵我们要寻求一种简单方便的标准型,容易进行各种运算例如幂运算.经过数学家的不断努力,终于得到了"若当型"
若当型对矩阵的幂运算,指数运算exp(A),秩的观察等都有很好的效果,因此是一个有效的方便的标准型.
一大堆废话后解释他和特征值特征向量的关系:
第一,若当标准型的对角线上n个元素一定是矩阵的n个特征值.
第二,若当标准型与特征向量无直接关系(但是,从构造思路上有联系~)
这两个结论可以直接从书中若当标准型的证明中看出来,不变因子组性质.
至于第二里边的括号内容"思路上与特征向量有关系",要用若当型另一种证明方法才能看出来
书中的"不变因子"的方法,可以看成是代数学的方法,我们还可以用"几何学"的方法来证明,就是空间分解的方法.
我们知道矩阵A可以看成是线性变换在线性空间V的一个矩阵表出,如果V的基底选的特殊一点,那么就会得到线性变换的另一种矩阵表出B,其中A,B相似.如果A有n个线性无关的特征向量,以此为V的基底,那么这个线性变换在此基下的表出B就是对角形.用代数写出来就是P逆AP=B,B是对角阵对角线上是A的n个特征值.P是A的n个特征向量的排列.
可是对于一般矩阵A,不一定有n个线性无关的特征向量啊,(矩阵A代数重数大于几何重数时)?换句话说,对于一般的矩阵A,不一定可以相似对角化啊!
数学家们引进了"特征多项式"和"最小多项式"的概念,用最小多项式的每个"素因子",找到了A在每个素因子下的"广义特征向量",然后用广义特征向量组成一组V的基底,就得到了A的相似矩阵.这种空间分解方法叫"准素分解".这是若当标准型思维上唯一用到特征向量的地方.
若当标准型,是对空间V进行准素分解再进行循环分解后得到的相似型.循环分解就不给你讲了.