设函数f(x,y,z)=yz^2 e^x,其中z=z(x,y)是由x+y+z+xyz=0确定的隐函数,则函数f(x,y,z)在x=0,y=1对x的偏导

题目

设函数f(x,y,z)=yz^2 e^x,其中z=z(x,y)是由x+y+z+xyz=0确定的隐函数,则函数f(x,y,z)在x=0,y=1对x的偏导
问题的表达式df/dx|x=0,y=1(求偏导数的符号找不到用d代替)

答案

df(x,y,z)/dx=[d(z^2)/dx]*y*e^x+y*z^2*(de^x/dx)=2zye^x(dz/dx)+y*z^2*e^x
另,由x+y+z+xyz=0求dz/dx
两边对x求偏导
1+0+dz/dx+yz+xy*(dz/dx)=0
得到
dz/dx=-(1+yz)/(1+xy)
代入x=0,y=1得
dz/dx|x=0,y=1| = - (1-1)/(1+0)=0（由x+y+z+xyz=0求得z=-1）
df(x,y,z)/dx=2zye^x(dz/dx)+y*z^2*e^x=1*(-1)^2*e^0=1