已知齐次线性微分方程的通解,求对应的非齐次线性微分方程的通解怎么求

已知齐次线性微分方程的通解,求对应的非齐次线性微分方程的通解怎么求

题目
已知齐次线性微分方程的通解,求对应的非齐次线性微分方程的通解怎么求
答案
第一类型非齐次方程特解的待定系数解法: 
现在,考虑()()xmfxpxe时,非齐次方程(1)的特解的求法. 
先从最简单的二阶方程 
xypyqye                                   (6) 
开始. 
因为xe经过求任意阶导数再与常数线性组合后,仍是原类型函数,所以,自然猜想到(6)有形如 
xyAe                                           (7) 
的特解,其中A为待定常数.将(7)代入(6)得到 

2xxApqee 

则 
2
1
Apq

                                       (8) 这样,当不是特征方程 
20pq                                        (9) 
的根时,则用(8)所确定的A代入(7)便得到(6)的特解. 
当是(9)的单根时,即20pq,这时(8)无法确定A.此时,可设特解为 
xyAxe                                           (10) 
并将它作为形式解代入(6)式,得 

22xxxApqxeApee 
因是当特征根,故可解出 

1
112Ap
 
这时(6)便有形如(10)的特解,其中A由(11)确定. 
   如果是(9)的重根,则2
p
,这时(10)的形式已不可用.此时,可
设特解为 
2xyAxe 
将它作为形式解,代入6得到 
22222xxxxApqxeApxeAee 
由于是二重根,故上式左端前两个括号内的数为零,由此得到 
12
A 
综上所述,可以得到如下结论:  
 设()()mpx是m次实或复系数的多项式. 
第一类型非齐次方程特解的待定系数解法: 
现在,考虑()()xmfxpxe时,非齐次方程(1)的特解的求法. 
先从最简单的二阶方程 
xypyqye                                   (6) 
开始. 
因为xe经过求任意阶导数再与常数线性组合后,仍是原类型函数,所以,自然猜想到(6)有形如 
xyAe                                           (7) 
的特解,其中A为待定常数.将(7)代入(6)得到 

2xxApqee 

则 
2
1
Apq

                                       (8) 这样,当不是特征方程 
20pq                                        (9) 
的根时,则用(8)所确定的A代入(7)便得到(6)的特解. 
当是(9)的单根时,即20pq,这时(8)无法确定A.此时,可设特解为 
xyAxe                                           (10) 
并将它作为形式解代入(6)式,得 

22xxxApqxeApee 
因是当特征根,故可解出 

1
112Ap
 
这时(6)便有形如(10)的特解,其中A由(11)确定. 
   如果是(9)的重根,则2
p
,这时(10)的形式已不可用.此时,可
设特解为 
2xyAxe 
将它作为形式解,代入6得到 
22222xxxxApqxeApxeAee 
由于是二重根,故上式左端前两个括号内的数为零,由此得到 
12
A 
综上所述,可以得到如下结论:  
 设()()mpx是m次实或复系数的多项式. 
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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