已知梯形ABCD中,对角线AC,BD交于O,设S△ADO=a^2,S△BOC=b^2.求证:S梯形ABCD=(a+b)^2

题目

已知梯形ABCD中,对角线AC,BD交于O,设S△ADO=a^2,S△BOC=b^2.求证:S梯形ABCD=(a+b)^2

答案

设梯形的上底为x,下底为y,△ADO高为h1,△BOC高为h2.
因为△ADO与△BOC相似,所以x/y=a/b,h1/h2=a/b(相似三角形的面积比等于对应线段比的平方；相似三角形的对应线段成比例）
则有 h2=bh1/a.
又因为 x*h1=2a^2,y*h2=2b^2,综合可得x+y=(2a^2+2ab)/h1
所以S梯形ABCD=（x+y)(h1+h2)/2=[(2a^2+2ab)/h1]*(h1+bh1/a)/2
=(a+b)^2