已知f（x）在（0，+∞）上是增函数，而且f（x）＞0，f（3）=1．判断g(x)＝f(x)+1/f(x)在（0，3）上是增函数还是减函数，并加以证明．

题目

已知f（x）在（0，+∞）上是增函数，而且f（x）＞0，f（3）=1．判断g(x)＝f(x)+

1

f(x)

答案

函数g（x）在（0，3）上是减函数．
证明如下：任取0＜x₁＜x₂≤3，
则g(x1)−g(x2)＝[f(x1)+

1

f(x1)

]−[f(x2)+

1

f(x2)

]＝[f(x1)−f(x2)][1−

1

f(x1)f(x2)

]．
∵f（x）在（0，+∞）是增函数，∴f（x₁）-f（x₂）＜0．又f（x）＞0，f（3）=1，
∴0＜f（x₁）＜f（x₂）≤f（3）=1，
∴0＜f（x₁）•f（x₂）＜1，

1

f(x1)f(x2)

＞1，1−

1

f(x1)f(x2)

＜0．
∴g（x₁）-g（x₂）＞0，即g（x₁）＞g（x₂）
由此可知，函数g(x)＝f(x)+

1

f(x)

在（0，3）上是减函数．