已知线段AB的端点B的坐标为(1,3),端点A在圆C:(x+1)2+y2=4上运动.(1)求线段AB的中点M的轨迹;(2)过B点的直线L与圆C有两个交点A,D.当CA⊥CD时,求L的斜率.
题目
已知线段AB的端点B的坐标为(1,3),端点A在圆C:(x+1)2+y2=4上运动.
(1)求线段AB的中点M的轨迹;
(2)过B点的直线L与圆C有两个交点A,D.当CA⊥CD时,求L的斜率.
答案
解(1)设A(x
1,y
1),M(x,y),
由中点公式得x
1=2x-1,y
1=2y-3
因为A在圆C上,所以(2x)
2+(2y-3)
2=4,即x
2+(y-1.5)
2=1.
点M的轨迹是以(0,1.5)为圆心,1为半径的圆;
(2)设L的斜率为k,则L的方程为y-3=k(x-1),即kx-y-k+3=0
因为CA⊥CD,△CAD为等腰直角三角形,
由题意知,圆心C(-1,0)到L的距离为
.
由点到直线的距离公式得
=
,
∴4k
2-12k+9=2k
2+2
∴2k
2-12k+7=0,解得k=3±
.
(1)设出A和M的坐标,利用中点坐标公式把A的坐标用M的坐标表示,代入圆的方程后可求线段AB的中点M的轨迹;
(2)由题意可知L的斜率存在,设出其斜率,结合CA⊥CD,由弦心距和半径的关系得到弦心距,再由圆心到直线的距离公式列式求出直线L的斜率.
轨迹方程;直线与圆相交的性质.
本题考查了与直线有关的动点的轨迹方程问题,考查了利用代入法求曲线的方程,解答的关键是正确利用直线和圆的位置关系,是中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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