设函数f(x)=x-ln(x+2),证明函数f(x)在区间[e-2-2,e4-2]内至少有两个零点.
题目
设函数f(x)=x-ln(x+2),证明函数f(x)在区间[e-2-2,e4-2]内至少有两个零点.
答案
由于函数f(x)=x-ln(x+2),则f′(x)=1-
=
(x>-2),
由f′(x)>0,得x>0;
由f′(x)<0,得-2<x<0;
所以f(x)在[-2,0]在上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,
则f(x)
最小值=f(0)=-ln2<0
f(e
-2-2)=e
-2-2-lne
-2=e
-2>0
f(e
4-2)=e
4-2-lne
4=e
4-6>0
故函数f(x)在区间[e
-2-2,e
4-2]内至少有两个零点.
举一反三
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