设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x^2-anx-an=0有一根为Sn-1

题目

设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x^2-anx-an=0有一根为Sn-1
求证:数列{1/Sn-1}为等差数列,
n=1,2,3...

答案

因为方程x^2-anx-an=0有一根为Sn-1所以（Sn-1)^2-an*（Sn-1)-an=0an=(Sn-1)^2/Sn 当n>=2时,有an=Sn-S(n-1)Sn-S(n-1)=(Sn-1)^2/Sn Sn^2-SnS(n-1)=Sn^2-2Sn+1 2Sn-SnS(n-1)=12Sn=SnS(n-1)+1Sn-S(n-1)=SnS(n-1)-S(n-1)-...