求y=/sinx/+/cosx/+sin^4(2x)的值域

题目

求y=/sinx/+/cosx/+sin^4(2x)的值域

答案

y=/sinx/+/cosx/+sin⁴(2x)
∵|sin(x+π/2)}+|cos(x+π/2)|+sin⁴[2(x+π/2)]
=|cosx|+|sinx|+sin⁴x
∴函数周期T=π/2
∴只需研究x∈[0,π/2]一个周期上闭区间上的值域即可
x∈[0,π/2]时,y=sinx+cosx+sin⁴(2x)
∵(sinx+cosx)²=1+2sinccosx=1+sin2x
∴sin2x=(sinx+cosx)²-1
设t=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)∈[1,√2]
∴sin2x=t²-1,sin⁴(2x)=(t²-1)⁴
∴y=t+(t²-1)⁴
∵t∈[1,√2] ∴t²∈[1,2]
∴(t²-1)⁴和 t均为增函数
（可以求导）
∴y=t+(t²-1)⁴为增函数
∴t=1时,ymin=1,t=√2时,ymax=√2+1
∴值域为[1.√2+1]