已知函数f（x）=ax3+bx2-2x+c在x=-2时有极大值6，在x=1时有极小值， （1）求a，b，c的值； （2）求f（x）在区间[-3，3]上的最大值和最小值．

题目

已知函数f（x）=ax³+bx²-2x+c在x=-2时有极大值6，在x=1时有极小值，
（1）求a，b，c的值；
（2）求f（x）在区间[-3，3]上的最大值和最小值．

答案

（1）f′（x）=3ax²+2bx-2由条件知

f′(−2)＝12a−4b−2＝0 f′(1)＝3a+2b−2＝0 f(−2)＝−8a+4b+4+c＝6

解得a=

1

3

，b=

1

2

，c=

8

3

（2）f（x）=

1

3

x3+ 

1

2

x2−2x+

8

3

，f′（x）=x²+x-2=0解得x=-2，x=1

由上表知，在区间[-3，3]上，当x=3时，f_max=10

1

6

；当x=1，f_min=

3

2

．

（1）因为函数f（x）=ax³+bx²-2x+c在x=-2时有极大值6，在x=1时有极小值得到三个方程求出a、b、c；
（2）令f′（x）=x²+x-2=0解得x=-2，x=1，在区间[-3，3]上讨论函数的增减性，得到函数的最值．

本题考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：考查函数利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数增减性的能力．