已知a,b.c为△ABC的三边长,且满足:( a3+b3+c3)/abc=(c+a)/b+(b+c)/a-(a+b)/c 试确定这个三角形的形状

题目

已知a,b.c为△ABC的三边长,且满足:( a3+b3+c3)/abc=(c+a)/b+(b+c)/a-(a+b)/c 试确定这个三角形的形状
a3+b3+c3指的是 a b c各自三次方相加

答案

( a3+b3+c3)/abc=(c+a)/b+(b+c)/a-(a+b)/c
a3+b3+c3=ac(a+c)+bc(b+c)-ab(a+b)
a3+b3+c3=a²c+ac²+b²c+bc²-a²b-ab²
a3-a²c+a²b +(b3-b²c+ab²）+（c3-ac²-bc²)=0
a²(a+b-c)+b²(a+b-c)+c²(c-a-b)=0
(a+b-c)(a²+b²-c²)=0
因a+b-c>0
所以a²+b²-c²=0
所以a²+b²=c²
所以是直角三角形