如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD.点P为底边BC的延长线上任意一点,PE⊥AB于E,PF⊥DC于F,BM⊥DC于M.请你探究线段PE、PF、BM之间的数量关系:_.
题目
如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD.点P为底边BC的延长线上任意一点,PE⊥AB于E,PF⊥DC于F,BM⊥DC于M.请你探究线段PE、PF、BM之间的数量关系:______.
答案
PE=PF+BM.
过点B作BH∥CD,交PF的延长线于点H,
∵PF⊥CD,BG⊥CD,∠PBH=∠DCB,
∴BM∥FH,PH⊥BH,
∴四边形BMFH是平行四边形,∠H=90°,
∴FH=BM,
∵等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,
∴∠ABC=∠DCB,
∴∠ABC=∠PBH,
∵PE⊥AB,
∴∠PEB=∠H=90°,
在△PBE和△PBH中,
,
∴△PBE≌△PBH(AAS),
∴PH=PE,
∴PE=PF+FH=PF+BM.
首先过点B作BH∥CD,交PF的延长线于点H,易证得四边形BMFH是平行四边形,即可得BG=FH,又可证得△PBE≌△PBH,即可得PH=PE,继而证得PE=PF+BM.
相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;等腰梯形的性质.
此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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