已知｛an｝｛bn｝满足a1=b1=6,an+1=an+n-3,且bn+1=(1/2)bn +1,求｛an｝｛bn｝的通项公式

题目

已知｛an｝｛bn｝满足a1=b1=6,an+1=an+n-3,且bn+1=(1/2)bn +1,求｛an｝｛bn｝的通项公式

答案

a(n+1)=an+n-3
a(n+1)-an=n-3
an-a(n-1)=n-4
.
a3-a2=-1
a2-a1=-2
以上等式相加得
a(n+1)-a1=-2-1+.+n-4+n-3
a(n+1)-a1=(-2+n-3)*n/2
a(n+1)=n(n-5)/2+6
a(n+1)=(n^2-5n+12)/2
a(n+1)=(n^2+2n+1-7n-7+18)/2
a(n+1)=[(n+1)^2-7(n+1)+18]/2
an=(n^2-7n+18)/2
b(n+1)=(1/2)bn +1
2b(n+1)=bn +2
2b(n+1)-4=bn -2
2[b(n+1)-2]=bn -2
[b(n+1)-2]/(bn -2)=1/2
bn -2成等比数列,公比为1/2
bn -2=(b1-2)*q^(n-1)
bn -2=(6-2)*(1/2)^(n-1)
bn -2=4*(1/2)^(n-1)
bn -2=(1/2)^(n-3)
bn=(1/2)^(n-3)+2