过原点作抛物线y=x∧2+4的切线,切线与抛物线y=x∧2+4围成的平面图形D,求D绕x轴旋转所得旋转体的体积

题目

过原点作抛物线y=x∧2+4的切线,切线与抛物线y=x∧2+4围成的平面图形D,求D绕x轴旋转所得旋转体的体积

答案

设过原点的线为y=kx,它与抛物线相切,有代入得的二次方程△=0
代入得kx=x²+4 x²-kx+4=0 △=k²-16=0 k=±4.
即y=4k,y=-4x,y=x²+4所围的图形D.交点为x²+4=±4x (x±2)²=0 x=±2为交点y=±8
它绕x轴旋转,
∫(x²+4) (x从-2到2)得x³/3+4x (x从-2到2)=8/3+8-(-8/3-8)=16/3+16
∫(4x)(x从0到2)得2x²(x从0到2)积分为8
∫(-4x)(x从-2到0)得-2x²(x从-2到0)积分为8
所以整体的体积为16/3+16-8-8=16/3