某工厂有一面长28m的旧墙,现准备利用这面旧墙建造一个面积为224平方米的矩形厂房.工程条件是1.建1m新墙的费用为a元2.把1m旧墙在原地翻新利用的费用为a/2元.经讨论由两种方案（1）翻新利用旧墙

题目

某工厂有一面长28m的旧墙,现准备利用这面旧墙建造一个面积为224平方米的矩形厂房.工程条件是1.建1m新墙的费用为a元2.把1m旧墙在原地翻新利用的费用为a/2元.经讨论由两种方案（1）翻新利用旧墙的一段xm（0＜x＜28）为矩形厂房的一面边长（2）把旧墙全部翻新后作为厂房某面墙的一部分（此时该面墙长为xm,x≥28）问,怎样利用旧墙可使建墙的总费用最少,最少费用是多少
高二数学题.

答案

解析：
方案1.翻新利用旧墙的一段xm（0＜x＜28）为矩形厂房的一面边长,
则另一边长为224/x m,可知：旧墙有x m,新墙为x+448/x m
所以建墙的总费用
＝x*(a/2)+(x+448/x)*a
=a*(3x/2 +448/x) (0＜x＜28)
由均值定理可得：3x/2 +448/x≥2√[(3x/2)*(448/x)]=8√52 (当且仅当3x/2=448/x即x=(8√21)/3时取等号)
则可知方案1中,当x=(8√21)/3时,可使建墙的总费用最少为8√52a元；
方案2.把旧墙全部翻新后作为厂房某面墙的一部分（此时该面墙长为xm,x≥28）
则旧墙有28m,新墙有2x-28+2*224/x=2x+448/x -28 m
可知建墙的总费用
＝28*a/2 +(2x+448/x -28)*a
=(2x+448/x)*a -14a
由均值定理2x+448/x≥2√[(2x)*(448/x)]=16√14 （当且仅当2x=448/x即x=4√14时取等号）
则当x=4√14时,方案2的建墙总费用最少为16√14a-14a
因为方案1费用8√52a>56a,而方案2费用16√14a-14a