已知点P(3,4)是椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的一点,F1,F2为椭圆的两焦点,若向量PF1⊥向量PF2.

题目

已知点P(3,4)是椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的一点,F1,F2为椭圆的两焦点,若向量PF1⊥向量PF2.
求:
(1)椭圆的方程.
(2)三角形PF1F2的面积.

答案

设F1,F2的坐标分别为（-c,0）,（c,0）
向量PF1=（-c-3,-4）
向量PF2=(c-3,-4)
因为向量PF1⊥向量PF2
所以向量PF1*向量PF2=0
即（-c-3）（c-3）+16=0
推出c=5
则a^2-b^2=25(c^2) …①
把P点坐标带入原方程9/a^2+16/b^2=1 …②
联立①②解得a=3√5,b=2√5
所以椭圆方程x^2/45+y^2/20=1
因为向量PF1⊥向量PF2
三角形PF1F2的面积=1/2*｜PF1｜*｜PF2｜
｜PF1｜=4√5
｜PF2｜=2√5
三角形PF1F2的面积=1/2*4√5*2√5=20