在△A.B.C中,角ABC对边分别是abc,已知角ABC成等差数列,若abc成等比数列,b＋c＝4,求△ABC的面积

题目

在△A.B.C中,角ABC对边分别是abc,已知角ABC成等差数列,若abc成等比数列,b＋c＝4,求△ABC的面积

答案

假设,三内角A,B,C的等差为x,则：
A=B-X ,C=B+X,
A+B+C=B-X+B+B+X=180,B=60
a,b,c依次成等比数列,即：b^2=ac;
根据余弦定理：
b^2=a^2+c^2-2ac cosB
ac=a^2+c^2-2ac cos60
ac=a^2+c^2-ac
(a-c)^2=0
a=c
因为：B=60,a=c,
所以：三角形为等边.
又因为b+c=4
所以a=b=c=2
高为根号3
面积为根号3