求∫∫arctan(y/x)dσ,其中积分区域是x2+y2=4,x2+y2=1及直线y=0,y=x所围成的在第一象限内的闭区域.

题目

求∫∫arctan(y/x)dσ,其中积分区域是x2+y2=4,x2+y2=1及直线y=0,y=x所围成的在第一象限内的闭区域.
注意：需用极坐标
我能完全化成极坐标,主要是不会积分.

答案

x=r cosθ
y=r sinθ （θ从0到π/4；r从1到2；积分区域是一个扇形）
则被积函数arctan(y/x)=arctan[(r sinθ/（r cosθ)]=arctan tanθ =θ
∫∫arctan(y/x)dσ
=∫(从0到π/4）dθ ∫(从1到2）r·θ dr
=∫(从0到π/4）[（1/2）r^2|(从1到2）]·θ dθ
=∫(从0到π/4）（3/2）θ dθ
=（3/2）·（1/2）θ^2|(从0到π/4）
=3π^2/64