设C是nxm矩阵,A是n阶方阵,B是m阶方阵,AC=CB

题目

设C是nxm矩阵,A是n阶方阵,B是m阶方阵,AC=CB
R(C)=m(此题有3问,不知道此条件对于此问是否多余?)
证明：若n>m,则det(xEm-B)整除det(xEn-A)
注：det(xEn-A)就是A 的特征多项式,我已证明B的特征根必为A的特征根,但是对于B的某特征根的重数是否一定小于A的此特征根的重数未能证明.

答案

CB^n=ACB^(n-1)=...=A^n*B 所以 任何多项式 F 有 CF(B)=F(A)C
所以 任何R事B的特征值 X属于B的R-根子空间,则存在 n有 （R-B）^nX=0
则 （R-A）^nCX=C（R-B）^nX=0 则CX 属于 A的R-根子空间.因为 C满秩 所以为单射 得证