如图，过⊙O上一点A的切线AC与⊙O直径BD的延长线交于点C，过A作AE⊥BC于点E． （1）求证：∠CAE=2∠B； （2）已知：AC=8，且CD=4，求⊙O的半径及线段AE的长．

题目

如图，过⊙O上一点A的切线AC与⊙O直径BD的延长线交于点C，过A作AE⊥BC于点E．

（1）求证：∠CAE=2∠B；
（2）已知：AC=8，且CD=4，求⊙O的半径及线段AE的长．

答案

（1）证明：连接OA，∵CA切⊙O于点A，∴∠OAC=90°，即：∠CAE+∠1=90°．又AE⊥BC，∴∠2+∠1=90°．∴∠CAE=∠2．又OA=OB，∴∠3=∠B，∴∠2=2∠B，∴∠CAE=2∠B．（2）∵AC是⊙O的切线，∴CA2=CD•CB．∴CB=CA2CD...

（1）连接OA，由切线的性质知：OA⊥AC，即∠OAC=90°，在Rt△OAC中，易证得∠CAE=∠AOE；而∠AOE是等腰△AOB的外角，即∠AOE=2∠B，等量代换后即可得出要证的结论；
（2）由切割线定理，易求得CB的长；即可求出BD和半径的长，Rt△CAO中，OA、OC的长已知，由勾股定理可求得AC的长，然后根据直角三角形面积的不同表示方程，即可求出AE的值．

本题考点：切线的性质；切割线定理．

考点点评：本题主要考查了切线的性质及切割线定理，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．