求lim(x->0)x^2*sin(1/x)/sinx,

题目

求lim(x->0)x^2*sin(1/x)/sinx,
我算是sin(1/x)～1/x,sinx～x,那么lim(x->0)x^2*sin(1/x)/sinx
=lim(x->0)x^2*(1/x)/x=x/x=1
为什么用夹逼定理求极限却等于0

答案

等价无穷小用错了
sin(1/x)～1/x成立,要x趋于无穷才对
而题目的x趋于0,1/x就趋于无穷,就不能用等价无穷小了
lim x^2*(sin(1/x)/sinx)
=lim x/sinx * lim x*sin(1/x)
因为sinx～x,且无穷小与有界的乘积的极限为无穷小
=1*0
=0
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