已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． 求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD-BE．

题目

已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD-BE．

答案

证明：①∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠BEC=∠ACB=∠ADC=90°，
∴∠ACE+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
在△ADC和△CEB中

∠ADC＝∠BEC ∠ACD＝∠CBE AC＝BC

，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
②∵△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，BE=CD，
∴CE-CD=AD-BE，
∵DE=CE-CD，
∴DE=AD-BE．

①根据垂直定义求出∠BEC=∠ACB=∠ADC，根据等式性质求出∠ACD=∠CBE，根据AAS证出△ADC和△CEB全等即可；
②由①推出AD=CE，CD=BE，即可推出答案．

本题考点：全等三角形的判定与性质；垂线．

考点点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明△ADC和△CEB全等的三个条件．题型较好．