已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数f’(x)≤f(x) b.c 属于R 证明当X≥0时 f(x)小于等于（x+c）^2

题目

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数f’(x)≤f(x) b.c 属于R 证明当X≥0时 f(x)小于等于（x+c）^2

答案

求导有：f(x)'=2x+b
因为对一切x属于R有：2x+b≤x^2+bx+c恒成立,即有：x^2+(b-2)x+(c-b)≥0恒成立,该不等式要恒成立,等价于判别式△=(b-2)^2-4×(c-b)≤0,即c≥(b^2/4)+1,而b属于R,所以c≥(b^2/4)+1≥1,所以c^2-1≥0,由均值不等式有：c≥2√[(b^2/4)+1]=｜b｜,即c-｜b｜≥0,当b≥0时,即c-b≥0,所以2c-b=c+(c-b)>0,所以当x≥0时,恒有(x+c)^2-f(x)=(2c-b)x+(c^2-1)≥0,即命题f(x) ≤(x+c)^2成立.