四面体ABCD各顶点到对面的距离分别为a,b,c,d体内一点到各个面的距离为a1,b1,c1,d1

题目

四面体ABCD各顶点到对面的距离分别为a,b,c,d体内一点到各个面的距离为a1,b1,c1,d1
求证a1a+b1+c1c+d1d=1

答案

令满足条件的四面体ABCD的内部一点为O,则：V(A－BCD)＝（1/3）S(△BCD)×a、V(O－BCD)＝（1/3）S(△BCD)a1,∴V(O－BCD)/V(A－BCD)=a1/a.······①同理,有：V(O－ACD)/V(B－ACD)＝b1/b,······②V(O－ABD)/...