如图,已知M(m,m^2),N(n,n^2)是抛物线C:y=x^2上两个不同点,且m^2+n^2=1 ,m+n≠0,L是MN的垂直平分线.

题目

如图,已知M(m,m^2),N(n,n^2)是抛物线C:y=x^2上两个不同点,且m^2+n^2=1 ,m+n≠0,L是MN的垂直平分线.
设椭圆E的方程为x^2/2+y^2/a=1(a＞0,a≠2)
1.当M,N在抛物线C上移动时,求直线L斜率k的取值范围
2.已知直线L与抛物线C交于A,B两个不同点,L与椭圆E交于P,Q两个不同点,设AB中点为R,PQ中点为S,若向量OR·向量OS=0,求E离心率的范围

答案

1.直线MN的斜率为m+n≠0,所以直线L的斜率k为-1/(m+n),由不等式(m+n)^2≤2(m^2+n^2)=2知-√2≤m+n≤√2.所以L的斜率k的取值范围为k≤-√2/2或k≥√2/2.
2.又知M,N的中点为((m+n)/2,1/2),所以直线L的方程可写为x+(m+n)y-(m+n)=0.
与抛物线C联立,得x^2+x/(m+n)-1=0,所以x1+x2=-1/(m+n),x1x2=-1,y1+y2=x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=2+1/(m+n)^2,所以R的坐标为(-1/[2(m+n)],1+1/[2(m+n)^2]).
与椭圆E联立,得[a+2/(m+n)^2]x^2-4/(m+n)+2-2a=0和[a(m+n)^2+2]y^2-[2a(m+n)^2]y+a(m+n)^2-2a=0,所以x3+x4=4(m+n)/[a(m+n)^2+2],y3+y4=2a(m+n)^2/[a(m+n)^2+2],所以S的坐标为(2(m+n)/[a(m+n)^2+2,a(m+n)^2/[a(m+n)^2+2]).
根据关系OR·OS=0,得a=2/[2(m+n)^2+1]的取值范围为[2/5,2).
则E的离心率e的平方为2/(2+a),取值范围为(1/2,5/6].
最终,E的离心率e的取值范围为(√2/2,√30/6]