设向量OA,OB不共线,向量OP=λ向量OA+μ向量OB且λ+μ=1,λ,μ∈R,求证A,B,P三点共线

题目

设向量OA,OB不共线,向量OP=λ向量OA+μ向量OB且λ+μ=1,λ,μ∈R,求证A,B,P三点共线

答案

因为OP=λOA+μOB且λ+μ=1,
所以OP=λOA+(1-λ)OB
OP=λ(OA-OB)+OB
OP-OB=λ(OA-OB)
PB=λAB
所以向量PB与向量AB共线,
∴P,A,B三点共线.