用面积法证明 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1

题目

用面积法证明 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1

答案

连EF交AD于G
∵重心为三条中线的交点
∴EFD分别为各边中点
∴EF∥BC且EF=（1/2）BC=BD


∵F为中点,FG∥BD
∴FG=（1/2）BD
同理证明GE=（1/2）DC=（1/2）BD=FG
∴G为EF中点
∴S△AFO=S△AEO（同底AO等高FG=GE）
又易正明S△AFO=S△BFO（等底AF=BF同高）
∴S△AEO=S△AFO=S△BFO=（1/3）S△ABE……（1）
设A到BE的高为h
又∵S△AEO=（1/2）OE·h……（2）
       S△ABE=（1/2）BE·h……（3）


结合（1）（2）（3）
∴BE=3OE


∴BO=2OE
命题的证