已知f(x)为R上的减函数且f﹙x+y﹚=f﹙x﹚·f﹙y﹚,f﹙2﹚=1/9,解不等式f﹙x﹚·f﹙3x2-1﹚

题目

已知f(x)为R上的减函数且f﹙x+y﹚=f﹙x﹚·f﹙y﹚,f﹙2﹚=1/9,解不等式f﹙x﹚·f﹙3x2-1﹚

答案

令x=y=1,根据f(x+y)=f(x)*f(y),有：
f（2）=f（1）·f（1）=[f(1)]^2=1/9,所以|f(1)|=1/3
又f(x)是定义在R上的减函数,所以f（1）=1/3；
f（3）=f（1+2）=f（1）·f（2）=1/3*1/9=1/27；
f(x)*f（3x^2-1）=f(x+3x^2-1)
→原不等式化为：f(x+3x^2-1)＜f（3）
由f(x)是定义在R上的减函数知：
x+3x^2-1＞3
解之得：x＞1或者x＜-4/3,即为解集!
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