设集合a={|log1/2(x^2-5x+6)=-1},b={x/a^x-20且a≠1},求a∩b

题目

设集合a={|log1/2(x^2-5x+6)=-1},b={x/a^x-20且a≠1},求a∩b

答案

集合A：
原式=＞(1/2)^(-1)=2=x²-5x+6,
解得x1=1,x2=4,
因为x²-5x+6＞0,
故x＜2或x＞3,
综上,a=｛1,4｝；
集合B：
当0＜a＜1/2时,
假设a=1/3,画图(1/3)^x与(1/2)^x,此时1/2为底数的曲线比1/3为底数的曲线“平坦”,在x＜0时,(1/3)^x始终大于(1/2)^x,而在x＞0时,(1/3)^x才始终小于(1/2)^x,且在x=0时,交于y=1；
故x-2＞0且2x-7＞0,
即x＞7/2,此时b=｛x＞7/2｝,
则a∩b=｛4｝；
当a=1/2时,
有x-2＞2x-7,
即x＜5,此时b=｛x＜5｝,
则a∩b=｛1,4｝；
当1/2＜a＜1时,
画图得知,a为底数的曲线更“平坦”,与第一种情况刚好相反,
故x-2＜0且2x-7＜0,
即x＜2,此时b=｛x＜2｝,
则a∩b=｛1｝；
当a＞1时,
画图得知,a^x单调递增,(1/2)^x单调递减,在x＜0时,(1/2)^x较大,
故故x-2＜0且2x-7＜0,
即x＜2,此时b=｛x＜2｝,
则a∩b=｛1｝.