已知f(x)=ax+(a-1)/x+2a-1,其中a>0,g(x)=lnx.(1)若f(x)≥g(x),在x属于[1,+无穷大）恒成立,

题目

已知f(x)=ax+(a-1)/x+2a-1,其中a>0,g(x)=lnx.(1)若f(x)≥g(x),在x属于[1,+无穷大）恒成立,
已知f(x)=ax+(a-1)/x+2a-1,其中a>0,g(x)=lnx.
(1)若f(x)≥g(x),在x属于[1,+无穷大）恒成立,求正数a的取值范围.
（2）求证：当x＞0时,xg(1+1/x）＜1.

答案

令h(x)=f(x)-g(x),a≥½,h′(x)＞0在(1,+∞)恒成立,h(x)≥h(1)=4a-2≥0,a≥½
0＜a＜½,h(x)≥h(1／a-1)≥0,½≤a﹤1(舍),综上,a≥½
设F(X)=g(1+1/x）-1／x= ln(1／x+1)-1／x,令t=1／x,G(t)=ln(1+t)-t,剩下的就很容易了