在△ABC中,AB=BC=10,点M、N在BC上,使得MN=AM=4,角MAC=角BAN,求三角形ABC的面积

题目

在△ABC中,AB=BC=10,点M、N在BC上,使得MN=AM=4,角MAC=角BAN,求三角形ABC的面积
N在M上方,

答案

因为AB=BC
所以∠BAC=∠C
又∠MAC=∠BAN
所以2∠MAC+∠NAM=∠C
又MN=AM
所以∠NAM=∠ANM
又∠AMN=∠MAC+∠C
∠AMN=180°-2∠NAM
即∠MAC+∠C=180°-2∠NAM
∠MAC+2∠MAC+∠NAM=180°-2∠NAM
所以∠BAM=∠NAC=∠MAC+∠NAM=60°
过B作BG⊥AM于G,过C作CH⊥AM于H
在RT△ABG中,AB=10,∠BAG=60°
所以BG=5根号3
根据余弦定理可求得BM=2根号19,CM=10-2根号19
所以CH/BG=CM/BM,可求得CH=5根号3（10-2根号19）/2根号19
所以三角形ABC的面积=1/2*AM*(BG+CH)=1/2*4*[5根号3+5根号3（10-2根号19）/2根号19]=2*5根号3[1+（10-2根号19）/2根号19]=2*5根号3*10/2根号19=50根号57/19