如图,在正方形ABCD中,E是CD边的中点,AC与BE相交于点F,连接DF. (1)在不增加点和线的前提下,直接写出图中所有的全等三角形; (2)连接AE,试判断AE与DF的位置关系,并证明你的结论

如图,在正方形ABCD中,E是CD边的中点,AC与BE相交于点F,连接DF. (1)在不增加点和线的前提下,直接写出图中所有的全等三角形; (2)连接AE,试判断AE与DF的位置关系,并证明你的结论

题目
如图,在正方形ABCD中,E是CD边的中点,AC与BE相交于点F,连接DF.

(1)在不增加点和线的前提下,直接写出图中所有的全等三角形;
(2)连接AE,试判断AE与DF的位置关系,并证明你的结论;
(3)延长DF交BC于点M,试判断BM与MC的数量关系.(直接写出结论)
答案
(1)△ADF≌△ABF,△ADC≌△ABC,△CDF≌△CBF.
(2)AE⊥DF.
证明:设AE与DF相交于点H.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠DAF=∠BAF.
又∵AF=AF,
∴△ADF≌△ABF.
∴∠1=∠2.
又∵AD=BC,∠ADE=∠BCE=90°,DE=CE,
∴△ADE≌△BCE.
∴∠3=∠4.
∵∠2+∠4=90°,
∴∠1+∠3=90°,
∴∠AHD=90°.
∴AE⊥DF.
(3)∵∠ADE=90°,AE⊥DF.
∴∠1+∠5=90°,∠3+∠1=90°.
∴∠3=∠5,
∵∠3=∠4,
∴∠4=∠5.
∵DC=BC,∠DCM=∠BCE=90°,
∴△DCM≌△BCE.
∴CE=CM,
又∵E为CD中点,且CD=CB,
∴CE=
1
2
CD=
1
2
BC,
∴CM=
1
2
CB,即M为BC中点,
∴BM=MC.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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