几个证明题 关于正定矩阵的
题目
几个证明题 关于正定矩阵的
若A使正定矩阵,证明A*也是正定矩阵
若A,B都是n阶正定矩阵.证明A+B也是正定矩阵
若A,B都是n阶正定矩阵,证明AB正定的充要条件是AB=BA
设A可逆,证明ATA正定
答案
以下所有的T全部为上标,是转置的意思
1、由于A正定,则A的特征值全大于0,而 A逆 的特征值全部为A特征值的倒数,因此也是全大于0,因此 A逆 正定.而 A*=|A|A逆,由于|A|为全体特征值的乘积,当然大于0,这样,A*的全体特征值一定都大于0(A*的特征值为 |A|与A逆 特征值的乘积),因此A*正定.
2、由于A,B正定,则对于任意非零向量x,有xTAx>0,xTBx>0,因此有
xTAx+xTBx>0,即xT(A+B)x>0,所以A+B正定.
下面先证第4题
4、由(ATA)T=ATA,因此ATA为实对称矩阵,对任意向量x,有xT(ATA)x=(Ax)TAx,注意,Ax为非零向量,(Ax)TAx是行向量与列向量的乘积,结果为对应分量的平方和,大于0,因此ATA为正定矩阵.
其实4题是正定矩阵的一个重要性质,反之也成立,任何一个正定矩阵一定能写成PTP的形式,其中P可逆.
3、必要性很简单,由于A,B,AB正定,因此A,B,AB均为实对称阵,AB=(AB)T=BTAT=BA
充分性:已知AB=BA,由于A,B正定,存在可逆矩阵P,Q使得A=PTP,B=QTQ
下面看 Q(AB)Q逆=Q(PTP)(QTQ)Q逆=QPTPQT=(PQT)T(PQT),由于PQT可逆,因此由4题结论(PQT)T(PQT)正定,说明AB与一个正定矩阵相似,说明AB的特征值全大于0.再由AB=BA=BTAT=(AB)T,知AB为实对称矩阵,因此AB正定.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
- Please _____ at six in the morning.
- 有足够多的1分,25分四种硬币,为了能支付1分,2分,……199分、200分这两百种不同的钱数,请你从中选出一些硬币,总个数越少越好,那么最少要挑选硬币多少个?(总个数)
- 小石潭记中的潭中鱼可百许头用/标出停顿的位置
- 《慈善的不是钱是心》阅读答案
- 若圆x2+y2=4上存在与点(2a,a+3)距离为1的点,则a的取值范围为
- 英语翻译
- 英语翻译
- 学生分宿舍,每间住8人,还有3间空房,如果每间住6人,有4人没住处,一共有多少人?
- 关于要爱护动物的英语作文(初一读的懂)
- 由“剑外忽传收蓟北,初闻涕泪满衣裳.却看妻子愁何在,漫卷诗书喜欲狂”这四句诗描写的情景,想到哪些成语
热门考点
- when getting into a problem,how should i solve it?这句话有没有语法错误呢,请懂的人帮忙分析下
- 指数函数和对数函数性质比较
- 什么是标准偏差,相对标准偏差
- 一辆客车从甲城开往乙城,8小时到达,一辆货车从乙城开往甲城,10小时到达,两车同时由两城相向开出,6小时后他们相距112千米.甲乙两城的公路长多少千米?
- four to see 其中的four是什么用法
- 若x,y满足x^2+y^2-2x+4y+4=0,则x^2+y^2的最小值是
- 人教新课标版初一语文报第25期周末大回旋(也就是2.3版)好的可以多加分!
- 4是20的( ) A.因数 B.倍数 C.质因数
- 过去时中有often后面动词用什么时态
- 破足但不迷路的人,胜过健步如飞却误入歧途的人是什么意思