在平行四边形ABCD中,已知两条对角线AC,BD的长分别为4,6,则AB²+BC²=

题目

在平行四边形ABCD中,已知两条对角线AC,BD的长分别为4,6,则AB²+BC²=

答案

注：AC为长对角线,利用勾股定理证明.证明：由平行四边形ABCD知AD=BC,DC平行AB,过D作DN垂直AB于N,过C作CM垂直AB的延长线于M,则DN=CM,所以Rt三角形ADN与Rt三角形BCM全等（HL定理）,即AN=BM,所以在Rt三角形ADN与Rt三角形BCM中,AN2+DN2=BM2+CM2=AD2=BC2.在Rt三角形BDN中,BD2=DN2+BN2=DN2+（AB-AN）2=DN2+AN2-2AN*AB+AB2=AD2-2AN*AB+AB2；在Rt三角形ACM中,同理得AC2=BC2+2BM*AB+AB2=AD2+2AN*AB+AB2；所以AC2＋BD2=AD2-2AN*AB+AB2+AD2+2AN*AB+AB2=2﹙AB2＋AD2﹚.
因为ABCD是平行四边形
所以 AD=BC
所以 AB2+BC2= （AC2＋BD2）/2=2√13