已知抛物线y=x2+（2k+1）x-k2+k， （1）求证：此抛物线与x轴总有两个不同的交点． （2）设x1、x2是此抛物线与x轴两个交点的横坐标，且满足x12+x22=-2k2+2k+1．求抛物线的

题目

已知抛物线y=x²+（2k+1）x-k²+k，
（1）求证：此抛物线与x轴总有两个不同的交点．
（2）设x₁、x₂是此抛物线与x轴两个交点的横坐标，且满足x₁²+x₂²=-2k²+2k+1．求抛物线的解析式．

答案

（1）证明：△=（2k+1）²-4（-k²+k）=4k²+4k+1+4k²-4k=8k²+1．
∵8k²+1＞0，即△＞0，
∴抛物线与x轴总有两个不同的交点．
（2）由题意得x₁+x₂=-（2k+1），x₁•x₂=-k²+k．
∵x₁²+x₂²=-2k²+2k+1，∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=-2k²+2k+1，
即（2k+1）²-2（-k²+k）=-2k²+k+1，4k²+4k+1+2k²-2k=-2k²+2k+1．
∴8k²=0，∴k=0，
∴抛物线的解析式是y=x²+x．