已知点P在曲线y=4/e^x+1上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是

题目

已知点P在曲线y=4/e^x+1上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是
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答案

y=4/(e^x+1)
求导：
y'=-4e^x/(e^x+1)²
设e^x=t>0
y'=-4t/(t+1)²=-4t/(t²+2t+1)=-4/(t+1/t+2)
∵t+1/t≥2√(t*1/t)=2 (t=1时取等号）
∴t+1/t+2≥4
∴y'=-4/(t+1/t+2)≤-1
α为曲线在点P处的切线的倾斜角
曲线在点P处的切线的斜率k=tanα
根据导数几何意义,P处的切线的斜
率k的值既是P处的导数值
∴k=y'≤-1
∴tanα≤-1
∴ 3π/4≤α