已知Y=F(X)是奇函数,且满足F(X+2)+3F(-X)=0,当X∈(0,2)十,F(X)=X^2-2X,则当X∈(-4,-2)时,F(X)的最小值是?

题目

已知Y=F(X)是奇函数,且满足F(X+2)+3F(-X)=0,当X∈(0,2)十,F(X)=X^2-2X,则当X∈(-4,-2)时,F(X)的最小值是?

答案

∵y=f(x)是奇函数
f(x+2)+3f(-x)=0
f(x+2)-3f(x)=0
f(x+2)=3f(x)
f(x+4)=3f(x+2)
f(x+2)=f(x+4)/3
∴f(x)=f(x+2)/3=f(x+4)/9
又当x∈(0,2)时,f(x)=x^2-2x,
∴当x∈(-4,-2)时,x+4∈(0,2),则有
f(x)=f(x+4)/9
=1/9[(x+4)^2-2(x+4)]
=1/9[x^2+6x+8)
=1/9[(x+3)^2-1],x∈(-4,-2)
∴当x=-3时,f(x)有最小值,且最小值为f(-3)=-1/9