若二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+ax3^2+2x2x3正定,则a的取值范围是多少?

题目

若二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+ax3^2+2x2x3正定,则a的取值范围是多少?
若二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+ax3^2+2x2x3正定,则a的取值范围是多少?

答案

1.由此二次型,可以得到二次型的矩阵
A=1 0 0
0 1 1
0 1 a；
2.经过初等行变换得
1 0 0
0 1 1
0 0 a-1；
3.可知其特征值为 1,1,a-1,根据二次型的矩阵A的n个特征值大于零,则其为正定可得
a-1>0,推出a>1;
注：前一个答案错误是因为他的矩阵写错了,关于2 X2X3,应该系数除以2,再排在对称线两边.